gultida

วันเสาร์ที่ 21 มกราคม พ.ศ. 2555

รูปสี่เหลี่ยม

ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)

รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง

มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา ^[1]รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถปูเต็มปริภูมิโดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน

การจำแนกชั้น

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามมีความยาวเท่ากัน หรือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกันและมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากันและมุมทั้งสี่ไม่เป็นมุมฉาก มีความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก นั่นคือมุมเท่ากันทุกมุม เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันและมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน และด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมจะถือว่าเป็นจัตุรัสก็ต่อเมื่อถูกจัดว่าเป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน นั่นคือไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ

รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ เป็นนัยว่าถ้าลากเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวออกเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะได้ว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีขนาดเท่ากัน และเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน (สมบัติเหล่านี้อาจหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร ในบริบทของเทสเซลเลชัน แต่ในแนวคิดทั่วไปหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมนูนอย่างเดียว)
รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน หมายรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว และรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัยนี่รรร้อเดะะี้ร้ดพำหกเ่ขนาดเท่ากัน เป็นนัยว่าด้านอื่นอีกสองด้านยาวเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน คำนิยามอื่นคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรแบ่งครึ่งด้านคู่ขนานหนึ่งคู่
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนรูปวงกลมแนบนอก รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นวงกลมล้อมก็ต่อเมื่อมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180 องศา
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสี่สัมผัสกับรูปวงกลมแนบใน
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส
รูปสี่เหลี่ยมด้านไม่ขนาน หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมไม่ปรกติ คือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกันเลย แต่บางกรณีบางด้านและบางมุมอาจมีขนาดเท่ากันก็ได้

รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ

รูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร คือรูปสี่เหลี่ยมเว้าซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ สมบัติเหมือนรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว แต่มีมุมภายในมุมหนึ่งเป็นมุมกลับ
รูปสี่เหลี่ยมไขว้ หรือรูปสี่เหลี่ยมผีเสื้อ หรือรูปสี่เหลี่ยมหูกระต่าย คือรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อนซึ่งมีด้านที่ตัดกันเอง
รูปสี่เหลี่ยมเบ้ คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบสองมิติ สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างหน้าบนขอบ และมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน ได้รับทอดมาจากการศึกษาสมบัติของโมเลกุลเช่นไซโคลบิวเทน ซึ่งมีวงแหวนที่ประกอบด้วยอะตอมสี่ตัวร่นเข้าหากัน ^[2]

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

$Area = \frac{1}{2} |{AC}\times{BD}|$

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น

(x 1, y 1)

และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น

(x 2, y 2)

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

$Area = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น ^[3]

$Area = \frac{1}{2} pq \cdot \sin \theta$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น $\tfrac{1}{2} pq$ เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) ^[4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้

$\begin{align} Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (\gamma + \lambda) ]} \\ &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{\gamma + \lambda}{2} \right) \right]} \\ s &= \frac{1}{2} (a+b+c+d) \\ \end{align}$

เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

$Area = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \gamma + \frac{1}{2}ad \cdot \sin \lambda$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

$Area = \frac{1}{2}(bc+ad)\sin \gamma$

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง $ab \cdot \sin \gamma$

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม ^[5]

$\begin{align} Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}} \\ \end{align}$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ

p q = a c + b d

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° ^[6]

$Area = \frac{|\tan \theta|}{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

$Area = \frac{|\tan \theta|}{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|$

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมไขว้หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า ไม่ตัดกันภายในรูปสี่เหลี่ยม
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุมภายในพอดี
กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ

$\frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \right)$
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า $p q = a c + b d$
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ มีด้าน a=AB, b=BC, c=CD, d=DA และมีเส้นทแยงมุม p=AC, q=BD จะมีสมบัติว่า

$\frac {p}{q}= \frac{ad+cb}{ab+cd}$
$p^{2}= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$
$q^{2}= \frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}$

รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป s ; รัศมีของรูปวงกลมแนบนอกคำนวณได้จาก ^[7]

$\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับโดยที่ d=b, c=a และมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า

$p 2 + q 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2$

กำหนดให้ P เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า

$(A P) 2 + (C P) 2 = (B P) 2 + (D P) 2$

เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่เสมอ

รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉากที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า $a 2 + c 2 = b 2 + d 2$ ^[6]^[8]^:p.136

ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเลขคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ^[9]

ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเรขาคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ^[9]

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ

ความยาวของเส้นทแยงมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a และ b ที่อยู่ติดกันและทำมุม θ คือ $\sqrt{ a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta }$ ซึ่งกลายมาจากกฎของโคไซน์
เมื่อเชื่อมจุดกึ่งกลางบนแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก และเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในก็ยาวเท่ากับผลบวกของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก
สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบอยู่บนด้านทั้งสี่ ซึ่งมีขนาดเท่ากับแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงข้าม จะยาวเท่ากันและตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม รวมทั้งสามเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว และแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงนั้น ๆ ด้วย ^[8]^:p.125
ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ ^[8]^:p.126
เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อประกอบกันจะทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ^[8]^:p.127

เศษส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้ (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์)

เศษส่วนเป็นตัวอย่างชนิดหนึ่งของอัตราส่วน ซึ่งเศษส่วนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชิ้นส่วนย่อยต่อชิ้นส่วนทั้งหมด ในขณะที่อัตราส่วนพิจารณาจากปริมาณของสองวัตถุที่แตกต่างกัน (ดังนั้น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ อาจไม่เท่ากับ 3 : 4) และเศษส่วนนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นผลหาร (quotient) ของจำนวน ซึ่งปริมาณที่แท้จริงสามารถคำนวณได้จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ คือการหารสามด้วยสี่ ได้ปริมาณเท่ากับ 0.75 ในทศนิยม หรือ 75% ในอัตราร้อยละ

การเขียนเศษส่วน ให้เขียนแยกออกจากกันด้วยเครื่องหมายทับหรือ ซอลิดัส(solidus) แล้ววางตัวเศษกับตัวส่วนในแนวเฉียง เช่น ¾ หรือคั่นด้วยเส้นแบ่งตามแนวนอนเรียกว่า วิงคิวลัม (vinculum) เช่น $\tfrac{3}{4}$ ในบางกรณีอาจพบเศษส่วนที่ไม่มีเครื่องหมายคั่น อาทิ ³₄ บนป้ายจราจรในบางประเทศ

รูปแบบของเศษส่วน

เศษส่วนสามัญ เศษส่วนแท้ และเศษเกิน

เศษส่วนสามัญ (vulgar/common fraction) คือเศษส่วนที่มีทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม (โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์) และเศษส่วนประเภทนี้เป็นจำนวนตรรกยะเสมอ เช่น $\tfrac{ 1 } { 3 }$ , $\tfrac{ 3 } { 4 }$ , $\tfrac{ 4 } { 3 }$ เป็นต้น สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่เป็นจำนวนเต็ม อาจไม่เป็นจำนวนตรรกยะ นอกจากนั้นเศษส่วนสามัญยังแยกออกเป็นเศษส่วนแท้ (proper fraction) ซึ่งมีค่าของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ทำให้ปริมาณของเศษส่วนน้อยกว่า 1 เช่น $\tfrac{ 7 } { 9 }$ และเศษเกิน (improper fraction) คือเศษส่วนที่ค่าของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น $\tfrac{ 5 } { 5 }$ , $\tfrac{ 9 } { 7 }$

จำนวนคละ

จำนวนคละ (mixed number) เป็นการนำเสนอเศษส่วนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยนำจำนวนเต็มประกอบเข้ากับเศษส่วนแท้ และมีปริมาณเท่ากับสองจำนวนนั้นบวกกัน ตัวอย่างเช่น คุณมีเค้กเต็มถาดสองชิ้น และมีเค้กที่เหลืออยู่อีกสามในสี่ส่วน คุณสามารถเขียนแทนได้ด้วย 2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 + $\tfrac{ 3 } { 4 }$ จำนวนคละสามารถแปลงไปเป็นเศษเกินและสามารถแปลงกลับได้ตามขั้นตอนดังนี้

การแปลงจำนวนคละไปเป็นเศษเกิน (2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ )

คูณจำนวนเต็มเข้ากับตัวส่วนของเศษส่วนแท้ (2 × 4 = 8)
บวกผลคูณในขั้นแรกด้วยตัวเศษ (8 + 3 = 11)
นำผลบวกเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนใหม่เป็นเศษเกิน ( $\tfrac{ 11 } { 4 }$ )

การแปลงเศษเกินไปเป็นจำนวนคละ ( $\tfrac{ 11 } { 4 }$ )

หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ให้เหลือเศษเอาไว้ (11 ÷ 4 = 2 เศษ 3)
นำผลหารที่ไม่เอาเศษไปเป็นจำนวนเต็ม (2_)
นำเศษจากการหารเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนเศษส่วนต่อท้ายจำนวนเต็ม (2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ )

เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน

$\tfrac{ 2 } { 3 }$ เทียบเท่ากับ $\tfrac{ 4 } { 6 }$

เศษส่วนที่เทียบเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่ง สามารถหาได้จากการคูณหรือการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) เนื่องจากจำนวน n ที่คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน คือเศษส่วน $\tfrac{ n } { n }$ ที่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นปริมาณของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น กำหนดเศษส่วน $\tfrac{ 1 } { 2 }$ เมื่อคูณด้วย 2 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะได้ผลลัพธ์เป็น $\tfrac{ 2 } { 4 }$ ซึ่งยังคงมีปริมาณเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ จึงกล่าวได้ว่า $\tfrac{ 2 } { 4 }$ เทียบเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ เมื่อลองจินตนาการจะพบว่าสองในสี่ส่วนของเค้กหนึ่งก้อน ไม่แตกต่างจากการแบ่งเค้กครึ่งก้อน

การหารเศษส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ซึ่งจะไม่ใช้ 0 เป็นตัวหาร) เป็นการตัดทอนหรือการลดรูปเศษส่วนให้มีตัวเลขน้อยลง สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1 กล่าวคือไม่มีตัวเลขอื่นนอกจาก 1 ที่สามารถหารแล้วได้เศษส่วนสามัญ เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 8 }$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเพราะมีตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1 ในทางตรงข้าม $\tfrac{ 3 } { 9 }$ ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเนื่องจากยังสามารถหารด้วย 3 ได้อีกเป็น $\tfrac{ 1 } { 3 }$

นอกจากนั้นการเปรียบเทียบปริมาณของเศษส่วน หากไม่สามารถจินตนาการหรือวาดรูปได้ จำเป็นต้องสร้างเศษส่วนที่เทียบเท่าขึ้นมาใหม่โดยให้มีตัวส่วนเท่ากันก่อนจึงจะสามารถเปรียบเทียบได้ ซึ่งตัวส่วนดังกล่าวสามารถคำนวณได้จากการคูณตัวส่วนทั้งสอง หรือจากตัวคูณร่วมน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบระหว่าง $\tfrac{ 3 } { 4 }$ กับ $\tfrac{ 11 } { 18 }$ ตัวส่วนสำหรับการเปรียบเทียบคือ ครน. ของ 4 กับ 18 มีค่าเท่ากับ 36 ดังนั้นจะได้เศษส่วนที่เทียบเท่าได้แก่ $\tfrac{ 27 } { 36 }$ กับ $\tfrac{ 22 } { 36 }$ ตามลำดับ ทำให้ทราบได้ว่า $\tfrac{ 3 } { 4 }$ มีปริมาณมากกว่า $\tfrac{ 11 } { 18 }$

เศษส่วนซ้อน

เศษส่วนซ้อน หรือ เศษซ้อน (complex/compound fraction) คือเศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นเศษส่วนอื่น ตัวอย่างเช่น $\tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3}$ เป็นเศษส่วนซ้อน ในการลดรูปเศษส่วนซ้อนสามารถทำได้โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เหมือนการหารธรรมดา ดังนั้น $\tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3}$ จะมีค่าเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ ÷ $\tfrac{ 1 } { 3 }$ = $\tfrac{ 3 } { 2 }$ นอกจากนั้นตัวเศษหรือตัวส่วนสามารถเป็นนิพจน์ของเศษส่วนอื่นต่อๆ กันไปได้ อย่างเช่นเศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction)

ส่วนกลับและตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ

ส่วนกลับของเศษส่วน (reciprocal/inverse) หมายถึงเศษส่วนอีกจำนวนหนึ่งที่มีตัวเศษและตัวส่วนสลับกัน เช่น ส่วนกลับของ $\tfrac{ 3 } { 7 }$ คือ $\tfrac{ 7 } { 3 }$ และเนื่องจากจำนวนใดๆ หารด้วย 1 จะได้จำนวนเดิม ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น 17 เขียนให้เป็นเศษส่วนได้เป็น $\tfrac{ 17 } { 1 }$ ตัวเลข 1 นี้คือตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ ดังนั้นจึงสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนและจำนวนทุกจำนวน (ยกเว้น 0) สามารถมีส่วนกลับได้เสมอ จากตัวอย่าง ส่วนกลับของ 17 คือ $\tfrac{ 1 } { 17 }$

การเปรียบเทียบค่า

สำหรับการเปรียบเทียบค่าของเศษส่วนนั้น หากตัวส่วนเท่ากันสามารถนำตัวเศษมาเปรียบเทียบกันได้เลย

$\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4}$ เพราะ

3 > 2

วิธีหนึ่งที่จะเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากันคือการหาตัวส่วนร่วม ในการเปรียบเทียบ $\tfrac{a}{b}$ กับ $\tfrac{c}{d}$ ให้แปลงทั้งสองเป็น $\tfrac{ad}{bd}$ และ $\tfrac{bc}{bd}$ เมื่อได้ว่า

b d

เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ตัวเศษ

a c

และ

b c

ก็สามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้

ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบระหว่าง $\tfrac{2}{3}$ กับ $\tfrac{1}{2}$ ให้แปลงเป็น $\tfrac{4}{6}$ กับ $\tfrac{3}{6}$ ซึ่งสามารถเปรียบเทียบกันได้

อีกกรณีหนึ่งที่เศษส่วนทั้งสองมีตัวเศษเท่ากัน เศษส่วนตัวที่มีตัวส่วนมากกว่าจะมีค่าน้อยกว่าตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่า

การบวกลบคูณหาร

เศษส่วนสามารถบวกลบคูณหารได้ และมีสมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การกระจาย รวมทั้งข้อยกเว้นของการหารด้วยศูนย์เหมือนจำนวนทั่วไป

การบวกและการลบเศษส่วน แบ่งเป็นสองกรณีคือ กรณีที่ตัวส่วนเท่ากันและกรณีตัวส่วนไม่เท่ากัน สำหรับกรณีที่ตัวส่วนเท่ากัน เราสามารถนำตัวเศษมาบวกหรือลบกันได้ทันที และได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่ยังคงมีตัวส่วนคงเดิม เช่น

$\tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{4}$

$\tfrac{5}{8} - \tfrac{3}{8} = \tfrac{2}{8}$

ส่วนกรณีที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน จำเป็นต้องหาเศษส่วนเทียบเท่าที่มีตัวส่วนที่เท่ากันก่อน จากการหาผลคูณหรือตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนทั้งหมด เมื่อตัวส่วนเท่ากันแล้วจึงนำตัวเศษของเศษส่วนที่เทียบเท่ามาบวกหรือลบกันตามปกติ ตัวอย่างเช่น

$\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{9}{12} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{14}{12}$

การคูณเศษส่วนสามารถทำได้ง่าย โดยการนำตัวเศษคูณตัวเศษ ตัวส่วนคูณตัวส่วน ได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเศษส่วนที่เกิดจากผลคูณทั้งสอง อาทิ

$\tfrac{5}{6} \times \tfrac{7}{8} = \tfrac{35}{48}$

สำหรับการหารเศษส่วน ให้ทำตัวหารเป็นส่วนกลับแล้วทำการคูณแทนที่จะเป็นการหาร ดังตัวอย่าง

$\tfrac{2}{3} \div \tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{3} \times \tfrac{5}{2} = \tfrac{10}{6}$