วันอาทิตย์ที่ 22 มกราคม พ.ศ. 2555

พีระมิด

พีระมิด
                    พีระมิดในประเทศอียิปต์ เป็นหนึ่งในพีระมิดที่เป็นที่รู้จักโดยมีหลายแห่งในประเทศอียิปต์ เป็นสิ่งก่อสร้างของชาวอียิปต์โบราณสมัยก่อนยุคเหล็ก โดยเฉพาะ พีระมิดคูฟู ใน หมู่พีระมิดแห่งกิซ่า นับเป็นสิ่งก่อสร้าง ขนาดใหญ่ที่สุด ที่มนุษย์เคยสร้างขึ้นมา ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความก้าวหน้าทางวิทยาการ ที่น่าอัศจรรย์ของอียิปต์โบราณ

หมู่พีระมิดแห่งกิซ่า (Giza Pyramid Complex)
                  พีระมิด (Pyramid) ใน ประเทศอียิปต์ มีมากมายหลายแห่งด้วยกัน แต่ที่มีชื่อเสียงที่สุดจนอาจนับเป็นตัวแทนของพีระมิดอียิปต์ทั้งมวล ได้แก่ หมู่พีระมิดแห่งกิซ่า (Giza Pyramid Complex)  ซึ่งประกอบไปด้วยพีระมิดคูฟู (Khufu) หรือ มหาพีระมิดแห่งกิซ่า (The Great Pyramid of Giza) หนึ่งเดียวในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก ที่ยังคงเหลืออยู่ในปัจจุบัน มีขนาดใหญ่ที่สุดและเก่าแก่ที่สุดในหมู่พีระมิดแห่งกิซ่า
พีระมิดคาเฟร (Khafre) ตั้งอยู่ตรงกลางของพีระมิดทั้ง 3 และสร้างอยู่บนพื้นที่สูง ทำให้ดูเหมือนมีขนาดใหญ่ที่สุด และมีบางคนเข้าใจผิดว่าพีระมิดคาเฟรคือมหาพีระมิดแห่งกิซ่า ทางทิศตะวันออกของพีระมิดคาเฟรมี มหาสฟิงซ์ (The Great Sphinx of Giza) หินแกะสลักขนาดมหึมาที่มักปรากฏในภาพถ่ายคู่กับพีระมิดคาเฟรพีระมิดเมนคูเร (Menkaure) ขนาดเล็กที่สุดและเก่าแก่น้อยที่สุดในหมู่พีระมิดแห่งกิซ่า จากตำแหน่งการก่อสร้างทำให้คาดได้ว่า เดิมอาจตั้งใจสร้างให้มีขนาดใกล้เคียงพีระมิดคูฟู และพีระมิดคาเฟรแต่ในที่สุดก็สร้างในขนาดที่เล็กกว่า พีระมิดเมนคูเรมักปรากฏในภาพถ่ายพร้อมกับหมู่พีระมิดราชินีทั้ง 3 (The Three Queen's Pyramids)พีระมิดทั้งสามสร้างเรียงต่อกันเป็นระยะทางกว่า 1 กิโลเมตร ทางทิศตะวันตกของกรุงไคโร เมืองหลวงของประเทศอียิปต์ในปัจจุบัน ด้วยโครงสร้างใหญ่โตและลักษณะรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะตัว ทำให้สามารถสังเกตเห็นได้จากระยะไกล ทั้งนี้แม้แต่จากภาพถ่ายดาวเทียม (คลิกเพื่อดูภาพถ่ายดาวเทียมหมู่พีระมิดแห่งกิซ่า)

พีระมิดโจเซอร์ (Djoser's Pyramid)
                       พีระมิดโจเซอร์ (Djoser's Pyramid) หรือ พีระมิดแห่งซักการา (The Pyramid of Saqqara) นับเป็นพีระมิดแห่งแรกของอียิปต์ ที่ฟาโรห์โจเซอร์ (Djoser หรือ Zoser) แห่งราชวงศ์ที่ 3 เป็นผู้สร้างขึ้น โดยมี อิมโฮเทป (Imhotep) ที่ปรึกษาประจำองค์ฟาโรห์เป็นสถาปนิกผู้ออกแบบ ลักษณะที่สำคัญคือเป็น พีระมิดขั้นบันได (Step Pyramid) ซ้อนกันรวม 6 ชั้น เปรียบเสมือนบันไดไปสู่สวรรค์ ส่วนพีระมิดรุ่นหลังที่เป็นแบบมหาพีระมิดที่แต่ละด้านของพีระมิดลาดเอียงลงประมาณ 51 องศามีความชันน้อยกว่าและไม่เป็นขั้นบันได ก็ถือว่าเป็นการลาดของลำแสงดวงอาทิตย์เช่นกัน ในขณะที่พีระมิดยุคต่อมาจะไม่มีลักษณะของขั้นบันไดให้เห็น ก่อนหน้านี้สุสานของฟาโรห์จะสร้างอยู่ใต้ดินโดยปิดทับด้วยสิ่งก่อสร้างที่ไม่สูงมากนักเรียกว่า มัสตาบา (Mastaba)

พีระมิดไมดุม (Meidum Pyramid)
                     พีระมิดไมดุม สร้างโดยฟาโรห์สนอฟรู (Snofru) หรืออีกพระนามหนึ่งคือ ซเนเฟรู (Sneferu) ผู้ก่อตั้งราชวงศ์ที่ 4 ของอียิปต์โบราณ เป็นพีระมิดที่พยายามพัฒนารูปแบบต่อจากพีระมิดขั้นบันไดของฟาโรห์โซเซอร์ โดยตั้งใจจะก่อสร้างให้มีรูปร่างเป็นพีระมิดที่สมบูรณ์ แต่เกิดปัญหาพังทลายลงระหว่างการก่อสร้างเนื่องจากพื้นทรายด้านล่างรองรับน้ำหนักพีระมิดไม่ไหว นักประวัติศาสตร์ส่วนหนึ่งเชื่อว่า ฟาโรห์สนอฟรูสร้างพีระมิดไมดุมนี้ให้กับ ฟาโรห์ฮูนิ (Huni) ฟาโรห์องค์สุดท้ายของราชวงศ์ที่ 3 ผู้เป็นพระราชบิดาของพระองค์ SEX

พีระมิดหักงอ (Bent Pyramid)
                  พีระมิดหักงอ (Bent Pyramid) หรือบางครั้งเรียกกันสั้นๆ ว่า พีระมิดเบี้ยว สร้างขึ้นโดย ฟาโรห์สนอฟรู (Snofru) หลังจากการก่อสร้างพีระมิดไมดุมประสบความล้มเหลว เดิมมีเป้าหมายจะสร้างให้มีรูปร่างเป็นแบบพีระมิดที่สมบูรณ์ แต่เกิดปัญหาในระหว่างการก่อสร้างเนื่องจากแต่ละด้านของพีระมิดทำมุมชันมากเกินไปคือชันถึง 54 องศาทำให้ต้องเปลี่ยนแบบการก่อสร้างกลางคัน กลายเป็นพีระมิดที่แต่ละด้านหักมุมเปลี่ยนความชันที่ประมาณระหว่างกลางความสูงของพีระมิดเหลือความชัน 43 องศา นับเป็นพีระมิดที่มีชื่อเสียงอีกแห่งหนึ่งเนื่องจากรูปร่างที่แปลกตาอย่างเห็นได้ชัดและแสดงถึงความสามารถของผู้สร้างที่สามารถแก้ไขปัญหาการก่อสร้างที่เกิดขึ้นเมื่อกว่า 4,600 ปีมาแล้วประสบการณ์จากพีระมิดหักมุมนี้เอง ทำให้การก่อสร้างพีระมิดแห่งต่อมาประสบความสำเร็จ และส่งผลให้มีการสร้าง มหาพีระมิดแห่งกิซ่า ที่กลายเป็นหนึ่งเดียวของ เจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก ที่ยังคงอยู่มาจนถึงปัจจุบัน

พีระมิดแดง (Red Pyramid)
พีระมิดแดง (Red Pyramid) สร้างโดยฟาโรห์สนอฟรู หลังจากพีระมิดเมดุม และพีระมิดหักงอ นับเป็นพีระมิดที่มีรูปร่างสมบูรณ์แบบแห่งแรกของโลก ด้านทั้ง 4 ของพีระมิดแดงทำมุมเอียง 43 องศาเท่ากับมุมเอียงในส่วนบนของพีระมิดหักงอ ซึ่งเท่ากับมีการนำบทเรียนจากการสร้างพีระมิดครั้งก่อนมาใช้นั่นเอง พีระมิดแดงมีความสูงถึง 104 เมตร (341 ฟุต) หรือประมาณอาคารสูง 30 ชั้น (เมื่อคิดความสูงที่ชั้นละ 3.5 เมตร) ฐานพีระมิดแต่ละด้านยาว 220 เมตร (722 ฟุต) หรือมีขนาดฐานเกือบเท่ากับมหาพีระมิดคูฟูแห่งกิซ่า นับเป็นพีระมิดที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในพีระมิด 3 แห่งที่เมืองดาชูร์ (Dahshur) และในยุคสมัยที่ก่อสร้างแล้วเสร็จยังนับเป็นสิ่งก่อสร้างสูงที่สุดในโลกในขณะนั้นอีกด้วย และเนื่องจากพีระมิดนี้สร้างโดยปิดผิวนอกด้วยหินแกรนิตสีแดงทำให้ได้ชื่อว่าพีระมิดแดงจากสีหินแกรนิตนั่นเอง

ความน่าจะเป็น

   ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หมายถึง ค่าที่บอกให้ทราบว่า เหตุการณ์ที่สนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน เรียกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่หาโดยวิธีนี้ว่า ความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติ (Empirical probability)



 ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น
  • พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
  • บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
  • นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
  • ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
  • ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า
        คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
        ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
        ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5
เราจะวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
        เราสามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
        สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ภาพ:ความน่าจะเป็น.JPG
        ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ภาพ:ความน่าจะเป็น2.JPG
        ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
ภาพ:ความน่าจะเป็น3.JPG
        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
ภาพ:ความน่าจะเป็น4.JPG
        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ภาพ:ความน่าจะเป็น5.JPG
        ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ภาพ:ความน่าจะเป็น6.JPG
        ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
        สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ภาพ:ความน่าจะเป็น7.JPG
        ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ภาพ:ความน่าจะเป็น8.JPG
        ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
ภาพ:ความน่าจะเป็น9.JPG
        โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ภาพ:ความน่าจะเป็น10.JPG
        ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ภาพ:ความน่าจะเป็น11.JPG
        ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน

วันเสาร์ที่ 21 มกราคม พ.ศ. 2555

รูปทรงและรูปร่าง

                       รูปร่าง (Shape) คือ รูปแบน ๆ มี 2 มิติ มีความกว้างกับความยาวไม่มีความหนาเกิดจากเส้นรอบนอกที่แสดงพื้นที่ขอบเขตของรูปต่าง ๆ เช่น รูปวงกลม  รูปสามเหลี่ยม หรือ รูปอิสระที่แสดงเนื้อที่ของผิวที่เป็นระนาบมากกว่าแสดงปริมาตรหรือมวล 
                      

                     รูปทรง (Form) คือ รูปที่ลักษณะเป็น 3 มิติ โดยนอกจากจะแสดงความกว้างความยาวแล้ว ยังมีความลึกหรือความหนานูน ด้วย เช่น รูปทรงกลม  ทรงสามเหลี่ยม ทรงกระบอก เป็นต้น ให้ความรู้สึกมีปริมาตร  ความหนาแน่น มีมวลสาร ที่เกิดจากการใช้ค่าน้ำหนัก หรือการจัดองค์ประกอบของรูปทรงหลายรูปรวมกัน
                    
                       รูปเรขาคณิต (Geometric Form) มีรูปที่แน่นอน มาตรฐาน สามารถวัดหรือคำนวณได้ง่าย มีกฎเกณฑ์เกิดจากการสร้างของมนุษย์ เช่น รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม รูปวงรี นอกจากนี้ยังรวมถึงรูปทรงของสิ่งที่มนุษย์ประดิษฐ์คิดค้นขึ้นอย่างมีแบบแผน  แน่นอน  เช่น รถยนต์   เครื่องจักรกล   เครื่องบิน  สิ่งของเครื่องใช้ต่าง ๆ ที่ผลิตโดยระบบอุตสาหกรรม ก็จัดเป็นรูปเรขาคณิต เช่นกัน รูปเรขาคณิตเป็นรูปที่ให้โครงสร้างพื้นฐานของรูปต่าง ๆ ดังนั้น การสร้างสรรค์รูปอื่น ๆ   ควรศึกษารูปเรขาคณิตให้เข้าใจถ่องแท้เสียก่อน
                      
                       รูปอินทรีย์ (Organic Form) เป็นรูปของสิ่งที่มีชีวิต หรือ คล้ายกับสิ่งมีชีวิตที่สามารถ     เจริญเติบโต  เคลื่อนไหว หรือเปลี่ยนแปลงรูปได้  เช่น รูปของคน  สัตว์  พืช
    
                        รูปอิสระ (Free Form) เป็นรูปที่ไม่ใช่แบบเรขาคณิต หรือแบบอินทรีย์ แต่เกิดขึ้นอย่างอิสระไม่มีโครงสร้างที่แน่นอน ซึ่งเป็นไปตามอิทธิพลและการกระทำจากสิ่งแวดล้อม  เช่น รูปก้อนเมฆ  ก้อนหิน  หยดน้ำ ควัน ซึ่งให้ความรู้สึกที่เคลื่อนไหว มีพลัง รูปอิสระจะมีลักษณะ ขัดแย้งกับรูปเรขาคณิต แต่กลมกลืน กับรูปอินทรีย์  รูปอิสระอาจเกิดจากรูปเรขาคณิตหรือรูปอินทรีย์ ที่ถูกกระทำ    จนมีรูปลักษณะเปลี่ยนไปจากเดิมจนไม่เหลือสภาพ เช่น รถยนต์ที่ถูกชนจนยับเยินทั้งคัน  เครื่องบินตก
 ตอไม้ที่ถูกเผาทำลาย หรือซากสัตว์ที่เน่าเปื่อยผุพัง

  ความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรง 
    เมื่อนำรูปทรงหลาย ๆ รูปมาวางใกล้กัน  รูปเหล่านั้นจะมีความสัมพันธ์ดึงดูด  หรือผลักไส 
  ซึ่งกันและกัน  การประกอบกันของรูปทรง อาจทำได้โดย ใช้รูปทรงที่มีลักษณะใกล้เคียงกัน 
  รูปทรงที่ต่อเนื่องกัน รูปทรงที่ซ้อนกัน รูปทรงที่ผนึกเข้าด้วยกัน รูปทรงที่แทรกเข้าหากัน 
  รูปทรงที่สานเข้าด้วยกัน หรือ รูปทรงที่บิดพันกัน      การนำรูปเรขาคณิต รูปอินทรีย์ และรูป 
  อิสระมาประกอบเข้าด้วยกัน จะได้รูปลักษณะใหม่ ๆ อย่างไม่สิ้นสุด
 


       รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ

ภาพ:รูปทรงเลขาคณิต.JPG

 รูปทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ

ภาพ:รูปทรงเลขาคณิต2.JPG
         รูปทรงกลม ลูกบอล แก้วน้ำ ภาชนะถ้วยชามต่าง ๆ ประกอบเป็นรูปร่างแบบต่าง ๆ ดังนั้นการจะอธิบายหรือออกแบบสิ่งต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยทฤษฎีทางเรขาคณิต
        ปัจจุบันประเทศไทยกำลังจะมีรถไฟใต้ดิน ลองนึกดูว่า ถ้าจะเจาะอุโมงค์ จากที่หนึ่งให้ทะลุหรือชนกับการเจาะมาจากอีกแนวหนึ่งได้ ต้องใช้หลักการทางเรขาคณิตมาช่วย
         นักคณิตศาสตร์ เริ่มจากการกำหนดจุด จุดซึ่งไม่มีขนาด ไม่มีมิติ และถ้าเราให้จุดเคลื่อนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของจุด ก่อให้เกิดเส้น
        หากหยิบแผ่นกระดาษมาหนึ่งแผ่น ผิวของแผ่นกระดาษเรียกว่าระนาบ รูปที่เกิดบนกระดาษนี้เรียกว่ารูประนาบ และถ้าดูที่ผิวของถ้วยแก้วที่เป็นรูปทรงกระบอก เราก็จะเห็นผิวโค้ง ซึ่งเราอาจมองรูปผิวโค้งของถ้วยแก้วในลักษณะสามมิติ

มิติต่าง ๆ ของรูปทรงเรขาคณิต

ภาพ:รูปทรงเลขาคณิต4.jpg
        รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ
        หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว

ปริมาตร

ปริมาตร หมายถึงความมากน้อยในปริภูมิสามมิติซึ่งวัสดุชนิดหนึ่งในสถานะใด ๆ (ของแข็ง ของเหลว แก๊ส หรือพลาสมา) หรือรูปทรงชนิดหนึ่งยึดถืออยู่หรือบรรจุอยู่ [1] บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ เช่นลูกบาศก์เมตรซึ่งเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ นอกจากนี้ยังเป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไปว่า ปริมาตรของภาชนะคือ ความจุ ของภาชนะ เช่นปริมาณของของไหล (ของเหลวหรือแก๊ส) ที่ภาชนะนั้นสามารถบรรจุได้ มากกว่าจะหมายถึงปริมาณเนื้อวัสดุของภาชนะ
รูปทรงสามมิติทางคณิตศาสตร์มักถูกกำหนดปริมาตรขึ้นด้วยพร้อมกัน ปริมาตรของรูปทรงอย่างง่ายบางชนิด เช่นมีด้านยาวเท่ากัน สันขอบตรง และรูปร่างกลมเป็นต้น สามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรต่าง ๆ ทางเรขาคณิต ส่วนปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสามารถคำนวณได้ด้วยแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ถ้าทราบสูตรสำหรับขอบเขตของรูปทรงนั้น รูปร่างหนึ่งมิติ (เช่นเส้นตรง) และรูปร่างสองมิติ (เช่นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ถูกกำหนดให้มีปริมาตรเป็นศูนย์ในปริภูมิสามมิติ
ปริมาตรของของแข็ง (ไม่ว่าจะมีรูปทรงปกติหรือไม่ปกติ) สามารถตรวจวัดได้ด้วยการแทนที่ของไหล และการแทนที่ของเหลวสามารถใช้ตรวจวัดปริมาตรของแก๊สได้อีกด้วย ปริมาตรรวมของวัสดุสองชนิดโดยปกติจะมากกว่าปริมาตรของวัสดุอย่างใดอย่างหนึ่ง เว้นแต่เมื่อวัสดุหนึ่งละลายในอีกวัสดุหนึ่งแล้ว ปริมาตรรวมจะไม่เป็นไปตามหลักการบวก [2]
ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปริมาตรถูกอธิบายด้วยความหมายของรูปแบบปริมาตร (volume form) และเป็นตัวยืนยงแบบไรมันน์ (Riemann invariant) ที่สำคัญโดยรวม ในอุณหพลศาสตร์ ปริมาตรคือตัวแปรเสริม(parameter) ชนิดพื้นฐาน และเป็นตัวแปรควบคู่ (conjugate variable) กับความดัน

หน่วยวัด

หน่วยวัดปริมาตรใช้แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับหน่วยวัดความยาว โดยเติมคำว่า ลูกบาศก์ นำหน้าหน่วยความยาวที่ใช้วัดขนาดในสามมิติทั้งความกว้าง ความยาว ความสูง ในหน่วยเดียวกัน เมื่อเขียนเป็นอักษรย่อจะเติม ลบ. นำหน้าหรือกำกับด้วย ยกกำลังสาม อย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น วัตถุทรงลูกบาศก์ชิ้นหนึ่งมีทุกด้านยาวหนึ่งเซนติเมตร (ซม., cm) จะมีปริมาตรเท่ากับหนึ่งลูกบาศก์เซนติเมตร (ลบ.ซม., ซม.3, cm3)
ระบบหน่วยวัดระหว่างประเทศกำหนดให้หน่วยวัดปริมาตรมาตรฐานคือหน่วยลูกบาศก์เมตร (ลบ.ม., ม.3, m3ระบบเมตริกก็มีหน่วยลิตร (ล., L) เป็นหน่วยวัดปริมาตรอีกด้วย ซึ่งเท่ากับปริมาตรของทรงลูกบาศก์ขนาดสิบเซนติเมตร จึงสัมพันธ์กับหน่วยลูกบาศก์เมตรเช่นกัน นั่นคือ
1 อาเบะ = (10 เซนติเมตร)3 = 1000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 0.001 ลูกบาศก์เมตร
ดังนั้น
1 ลูกบาศก์เมตร = 1000 ลิตร
บ่อยครั้งที่ปริมาณของเหลวจำนวนเล็กน้อยถูกวัดในหน่วยมิลลิลิตร นั่นคือ
1 มิลลิลิตร = 0.001 ลิตร = 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร
หน่วยวัดปริมาตรแบบดั้งเดิมอื่น ๆ ที่มีหลากหลายก็เป็นที่นิยมเช่นกัน เช่น ลูกบาศก์นิ้ว ลูกบาศก์ฟุต ลูกบาศก์ไมล์ ช้อนชา ช้อนโต๊ะ ถ้วย ออนซ์ แดรม กิลล์ ไพนต์ ควอร์ต แกลลอน มินิม บาร์เรล คอร์ด เพก บุเชิล ฮอกสเฮด ฯลฯ ส่วนหน่วยวัดไทยดั้งเดิมก็มีอย่างเช่น ถัง (20 ลิตร) บั้น เกวียน เป็นต้น

สูตรปริมาตร

รูปทรงสูตรปริมาตรตัวแปร
ทรงลูกบาศก์V = a^3\;a = ความยาวของด้าน (หรือขอบ) ด้านใดด้านหนึ่ง
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
(ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก)
V = l \cdot w \cdot hl = ความยาว, w = ความกว้าง, h = ความสูง
ปริซึมV = B \cdot hB = พื้นที่ของหน้าตัด (ฐาน), h = ความสูง
ทรงกระบอกV = \pi r^2 h\;r = รัศมีของหน้าตัดรูปวงกลม, h = ความสูง
ทรงกลมV = \frac{4}{3} \pi r^3r = รัศมีของทรงกลม
ทรงรีV = \frac{4}{3} \pi abcabc = กึ่งแกนของทรงรี
พีระมิดV = \frac{1}{3} BhB = พื้นที่ของหน้าตัด (ฐาน), h = ความสูงจากฐานสู่ยอด
ทรงกรวยV = \frac{1}{3} \pi r^2 hr = รัศมีของหน้าตัดรูปวงกลม, h = ความสูงจากฐานสู่ยอด
ทรงสี่หน้าปรกติ[4]V = {\sqrt{2}\over12}a^3a = ความยาวของด้าน (หรือขอบ) ด้านใดด้านหนึ่ง
ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานV = a b c \sqrt{K}

\begin{align}
K = & 1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
& - \cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)
\end{align}
abc = ความยาวของขอบจากจุดยอดจุดหนึ่ง
α, β, γ = มุมภายในระหว่างขอบจากจุดยอดจุดหนึ่ง
รูปทรงใด ๆ
(ต้องใช้แคลคูลัส)
V = \int_a^b A(h) \,dhh = มิติใด ๆ ของรูปทรง
A(h) = พื้นที่หน้าตัดที่ตั้งฉากกับ h อธิบายด้วยฟังก์ชันของตำแหน่งบน h
ab = ขอบเขตของปริพันธ์สำหรับการกวาดเชิงปริมาตร
(ใช้ได้เฉพาะกรณีรูปทรงที่พื้นที่หน้าตัดสามารถพิจารณาได้จาก h)
รูปทรงที่หมุนใด ๆ
(ต้องใช้แคลคูลัส)
V = \pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}xRO,RI = ฟังก์ชันที่แสดงถึงรัศมีภายนอกและภายในของฟังก์ชันตามลำดับ
ab = ขอบเขตของปริพันธ์สำหรับการกวาดเชิงปริมาตร